測度論
ってなんですか！？
測度論（そくどろん）は完全加法族、測度、可測関数および積分といったものを研究する実解析の一分野。 確率論や統計学において重要である。
数学において、測度（そくど）とは与えられた集合の部分集合に対して "大きさ"、"容積"、"確率" などといった数を割り当てる関数である。この概念は解析学や確率論において重要である。
歴史
歴史的に微分積分学で扱うことのできた素朴な意味での体積（一般には多次元の体積）は、リーマン積分を用いて表され、有限加法的であった。1902年、ルベーグは彼の学位論文「積分、長さ、体積」("Integrale, Longueur, Aire") において測度の概念を確立する。これにより新たに定義せられた "体積" は、完全加法的であることを積極的に要求したため、極限概念との親和性が高く、そのためリーマン積分（とジョルダン測度）による場合よりも多くの集合に体積が定義可能となった。これが測度論の始まりである。（スタブ）
ルベーグ積分、ルベーグ測度も参照されたい。
形式的定義
形式的に、集合 X の部分集合からなる完全加法族 A 上で定義される可算加法的測度 μ とは拡張された区間 [0, ∞] に値を持つ（つまり、無限大も許す非負値の）関数であって、次の性質を満たすもののことである：
空集合の測度は 0 である。
完全加法性（可算加法性）: E1, E2, E3, ... がどの二つも互いに共通部分を持たない A に属する集合の列ならば
A の元は可測集合とよばれる。 また、 数学的構造 (X, A, μ) は 測度空間と呼ばれる。 次の性質は、上の定義から導かれるものである：
いきなりですが…、
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単調性: E1 and E2 が可測集合で E1 ⊂ E2 を満たすならば、
E1, E2, E3, ... が可測集合の列で、各 n において En が En+1 に含まれるならば、En たちの和集合は可測で
E1, E2, E3, ... が可測集合の列で、各 n において En+1 が En に含まれるならば、En たちの共通部分も可測で、さらに少なくとも一つの En が測度有限であるならば
（以上、ウィキペディアより引用）
なるほどねー！